kinoqo.ru

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

по договоренности / по договоренности

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения. Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (x o = 0). y + 6y + 13y = 8e -x. y o = 2/3, y o = 2. Решение находим с помощью калькулятора. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = e rx. Для этого составляем характеристическое уравнение. r 2 +6 r + 13 = 0 D = 6 2 - 4 • 1 • 13 = -16 /> /> Корни характеристического уравнения . r 1 = -3 + 2i r 1 = -3 - 2i Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: /> /> Общее решение однородного уравнения имеет вид: /> Найдем частное решение при условии:y(0) = 2/3, y(0) = 2 Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение: c1 = 2/3 Находим первую производную: y = -3•c2•e -3•x •sin(2•x)-2•c1•e -3•x •sin(2•x)-3•c1•cos(2•x)•e -3•x +2•c2•cos(2•x)•e -3•x Поскольку y(0) = -3•c1+2•c2, то получаем второе уравнение: -3•c1+2•c2 = 2 В итоге получаем систему из двух уравнений: c1 = 2/3 -3•c1+2•c2 = 2 т.е.: c 1 = 2 / 3 .

c 2 = 2 Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: /> Рассмотрим правую часть: f(x) = 8•e -x Поиск частного решения . Уравнение имеет частное решение вида: y * = Ae -x. Вычисляем производные онлайн.

Первая производная: y = -A•e -x Вторая производная: y = A•e -x Найденные производные подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y + 6y + 13y = (A•e -x ) + 6(-A•e -x ) + 13(Ae -x ) = 8•e -x или 8•A•e -x = 8•e -x Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 8A = 8 Откуда, A = 1 Частное решение имеет вид: y * = e -x Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид.

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной. Для нахождения производных C i составляем систему уравнений: _ e


Заказчик: Титов С. Р.
1 предложение
заказ открыт, опубликован: 31.05.2017

Для выбора исполнителя Вам надо авторизоваться





2011 - 2018    Kinoqo.ru - Все права защищены